Nootje 23

Bereken de oppervlakte van het gebied bepaald door

    \[|x|+|y|+|x+y|\leq 1\]

Antwoord

 

 

  • In het eerste kwadraat is x>0 en y>0 en dus ook x+y>0. De gegeven ongelijkheid wordt dan x+y\leq \frac{1}{2}.
  • In het derde kwadrant is x<0 en y<0 en dus ook x+y<0. De ongelijkheid wordt dan x+y\geq -\frac{1}{2}.
  • In het tweede kwadrant is x<0 en y>0. Als x+y>0 wordt de ongelijkheid  y\leq \frac{1}{2}. Is echter x+y<0, dan verkrijgen we x\geq -\frac{1}{2}
  • In het vierde kwadrant tenslotte is x>0 en y<0. Als x+y>0, dan is de ongelijkheid x\leq \frac{1}{2}. Is daarentegen x+y<0, dan krijgen we y\geq - \frac{1}{2}
  • Het stelsel van al die ongelijkheden geeft volgend gebied in het vlak:
  • In deze figuur herkennen we gemakkelijk drie vierkanten met zijde 1. De oppervlakte is dus 3 oppervlakte eenheden