absolute waarde

Bereken de oppervlakte van het gebied bepaald door
$|x|+|y|+|x+y|\leq 1$

Antwoord

In het eerste kwadraat is x>0 en y>0 en dus ook x+y>0. De gegeven ongelijkheid wordt dan $x+y\leq \frac{1}{2}$ .
In het derde kwadrant is x<0 en y<0 en dus ook x+y<0. De ongelijkheid wordt dan $x+y\geq -\frac{1}{2}$ .
In het tweede kwadrant is x<0 en y>0. Als x+y>0 wordt de ongelijkheid $y\leq \frac{1}{2}$ . Is echter x+y<0, dan verkrijgen we $x\geq -\frac{1}{2}$
In het vierde kwadrant tenslotte is x>0 en y<0. Als x+y>0, dan is de ongelijkheid $x\leq \frac{1}{2}$ . Is daarentegen x+y<0, dan krijgen we $y\geq - \frac{1}{2}$
Het stelsel van al die ongelijkheden geeft volgend gebied in het vlak:
In deze figuur herkennen we gemakkelijk drie vierkanten met zijde 1. De oppervlakte is dus 3 oppervlakte eenheden

We geven eerst de definitie : $\forall a \in \mathbb{R}^+: |a| =a$ en $\forall a \in \mathbb{R}^-: |a| =-a$ . Uit deze definitie leid je onmiddellijk af dat $|a| =0 \Leftrightarrow a =0$ en $|a|=|-a|$ .

Andere eigenschappen:

$\forall a \in \mathbb{R}: -|a| \leq a \leq |a|$
$\forall a,b \in \mathbb{R}: |a.b|=|a|.|b|$
$\forall a,b \in \mathbb{R}:|\dfrac{a}{b}|=\dfrac{|a|}{|b|}$
$\forall x \in \mathbb{R},\forall a \in \mathbb{R}^+:|x| \leq a \Leftrightarrow -a \leq x \leq a$
$\forall a,b \in \mathbb{R}:|a+b| \leq |a|+|b|$ (driehoeksongelijkheid)
$\forall a,b\in \mathbb{R}:|a|-|b| \leq |a+b|$
$\forall a,b\in \mathbb{R}:||a|-|b| |\leq |a-b|$

De grafiek van de functie $f(x)=|x|$ wordt gegeven door:

Wiskunde is leuk

Tag archieven: absolute waarde

Nootje 23

Bereken de oppervlakte van het gebied bepaald door
$|x|+|y|+|x+y|\leq 1$