Tag archieven: meetkunde

Een nieuwe zeshoek

Geplaatst op door

Neem een willekeurige convexe zeshoek. Met telkens drie opeenvolgende hoekpunten van deze zeshoek vormt men zes driehoeken. Construeer het zwaartepunt van deze driehoeken. De alzo verkregen punten zijn de hoekpunten van een nieuwe zeshoek. Toon aan dat de paren overstaande zijden van deze zeshoek evenwijdig en even lang zijn.

We geven de hoekpunten A_i van de oorspronkelijke zeshoek willekeurige coördinaten (3x_i,3y_i) ( drievouden omdat we het zwaartepunt moeten berekenen). Het zwaartepunt van driehoek A_1A_2A_3 is het punt Z_1(x_1+x_2+x_3,y_1+y_2+y_3). Analoge coördinaten voor de andere hoekpunten. We proberen nu aan te tonen dat Z_1Z_6 evenwijdig is met Z_3Z_4 en dat |Z_1Z_6|=|Z_3Z_4|.

  • De richtingsgetallen van Z_1Z_6 zijn (x_1+x_2+x_3,y_1+y_2+y_3)-(x_6+x_1+x_2,y_6+y_1+y_2)=(x_3-x_6,y_3-y_6)  De richtingsgetallen van Z_3Z_4 zijn (x_3+x_4+x_5,y_3+y_4+y_5)-(x_4+x_5+x_6,y_4+y_5+y_6)=(x_3-x_6,y_3-y_6) Bijgevolg is Z_1Z_6 evenwijdig  met Z_3Z_4.
  • |Z_1Z_6|=\sqrt{(x_3-x_6)^2+(y_3-y_6)^2}=|Z_3Z_4|.

De rechte van Wallace

Geplaatst op door

Er bestaat een mooie, minder bekende meetkundige stelling, die voor het eerst gevonden werd door de Schotse wiskundige William Wallace (1768-1843).

De voetpunten Pc , Pa en Pb van de loodlijnen uit een punt
P van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC neergelaten
op de dragers van de zijden, zijn collineair.

De rechte door Pa,Pb en Pc noemt men  de rechte van Wallace.
Het bewijs verloopt als volgt: PBPcPa is een koordenvierhoek (hoek tussen zijde en diagonaal). Analoog zijn ook PPaCPb en PCAB  koordenvierhoeken. Omdat de overstaande hoeken supplementair zijn volgt hieruit dat \widehat{PPaPc}+\widehat {PPaPb}=180^{\circ}. Hieruit volgt dat de drie punten collineair zijn.

Men kan deze stelling ook veralgemenen:
Als je in plaats van loodlijnen, rechten uit P kiest die eenzelfde hoek maken met de zijden, dan geldt weer dat de drie ‘voetpunten’, zeg Qc, Qa en Qb, collineair zijn.

Opgave 20

Geplaatst op door

AB is een koorde en P een willekeurig punt van een gegeven cirkel. Q is de loodrechte projectie van P op AB en R en S zijn de loodrechte projecties van P op de raaklijnen aan de cirkel in A en B. Bewijs dat PQ het meetkundig gemiddelde is van PR en PS.

Antwoord

  • Maken we eerst een tekening:
  • We proberen aan te tonen dat de driehoeken PRQ en PQS gelijkvormig zijn, want dan is \dfrac{PR}{PQ}=\dfrac{PQ}{PS} en hieruit volgt het gestelde.
  • De vierhoeken PRAQ en PQSB zijn koordenvierhoeken omdat twee overstaande hoeken recht zijn.
  • In de eerste koordenvierhoek is \widehat{PRQ}=\widehat{PAQ}  omdat in een koordenvierhoek de hoek tussen een zijde en de diagonaal gelijk is aan de hoek gevormd door de overstaande zijde en de andere diagonaal. Daarom is ook \widehat{PQS}=\widehat{PBS}.
  • Maar de hoeken \widehat{PAQ} en \widehat{PBS} zijn gelijk als hoeken op eenzelfde boog in de gegeven cirkel. Bijgevolg is \widehat{PRQ}=\widehat{PQS}.
  • Via een analoge redenering is ook \widehat{PQR}=\widehat{PSQ} en dus zijn de driehoeken PRQ en PQS gelijkvormig, zoals gevraagd.

Een eigenschap van gelijkzijdige driehoeken.

Geplaatst op door

Gegeven zijn 2 punten A en B. Als we B roteren  over 60° rond A, naar het punt B’, dan is de driehoek ABB’ gelijkzijdig.

Een gevolg hiervan is de volgende eigenschap over gelijkzijdige driehoeken die gevonden werd in 1936 door de Roemeense wiskundige D.Pompeiu (1873-1954). Het is merkwaardig dat dit, relatief eenvoudig resultaat, niet vroeger ontdekt werd.

ABC is een gelijkzijdige driehoek en P een punt dat niet op de omgeschreven cirkel ligt van ABC. Dan is het steeds mogelijk een driehoek te construeren met als zijden PA,PB en PC. Als P toch op de omgeschreven cirkel ligt dan zal een van deze drie lengtes gelijk zijn aan de som van de anderen.

In onderstaande tekening wordt ABC over 60° gedraaid rond het punt C. De zijden van de driehoek PP’A zijn gelijk aan PA,PB en PC, dus hebben we inderdaad een driehoek geconstrueerd met als zijden PA,PB en PC.

 

Salinon

Geplaatst op door

De salinon is een figuur gevormd door 4 halve cirkels.

Het woord salinon komt uit het Grieks en betekent ‘zoutvaatje’.  Als de straal van de grote halve cirkel R is en de straal van de kleine cirkel in het midden r is, dan is de straal van de andere 2 kleine halve cirkel gelijk aan \dfrac{R-r}{2}.

In het  Boek der Lemmas, bewees Archimedes dat de oppervlakte van de salinon gelijk is aan de oppervlakte van een cirkel gegeven in onderstaande figuur en die is \dfrac{1}{4}\pi(R+r)^2.