E,F en G zijn de raakpunten van de ingeschreven cirkel aan de zijden van driehoek ABC. Bewijs dat AF,BG en CE door één punt gaan.

Antwoord

F verdeelt de zijde a in $|CF| =r\cot \frac{C}{2}$ en $|FB|=r\cot \frac{B}{2}$ . Hierbij is $r$ de straal van de ingeschreven cirkel en zijn CD en BD de bissectrices van de hoeken C en B.
Analoog geldt: G verdeelt de zijde b in $|CG| =r\cot \frac{C}{2}$ en $|AG|=r\cot \frac{A}{2}$ en E verdeelt de zijde c in $|AE| =r\cot \frac{A}{2}$ en $|EB|=r\cot \frac{B}{2}$ .
Dan is $\dfrac{|AE|}{|EB|}.\dfrac{|BF|}{|FC|}.\dfrac{|CG|}{|GA|}=1$ .
Volgens de stelling van Ceva zijn de hoektransversalen AF,BG en CE dan concurrent.

Wiskunde is leuk