Wiskunde is leuk

Veeltermen met gehele coëfficiënten

Geplaatst op 8 april 2021 door admin

Stel P(x) een veelterm met gehele coëfficiënten en a en b gehele getallen, dan geldt

$a-b \text{ deelt} P(a)- P(b)$

Hieruit volgt de gekende regel dat als a een gehele nulwaarde is van P(x), dan moet a een deler zijn van de constante term in P(x). Neem a een gehele nulwaarde van P(x), dan is , volgens vorige stelling $a-0$ een deler van $P(a)-P(0)$ . Omdat $P(a)=0$ volgt hieruit dat a een deler is van $P(0)$ , wat moest bewezen worden.

Toepassing: Gegeven is een veelterm P(x) met gehele coëfficiënten veronderstel dat $P(x)= \pm 1$ voor 3 verschillende gehele getallen. Bewijs dat P(x) geen geheel nulwaarden heeft.

Stel dat er toch een geheel nulwaarde is: $P(d)=0$ en d is een geheel getal. Uit de gegeven stelling volgt dan dat $a-d$ , $b-d$ en $c-d$ delers zijn van 1. Dit zijn drie verschillende getallen. Dit is dus onmogelijk omdat 1 slechts 2 delers heeft.

Nootje 7

Geplaatst op 24 maart 2019 door admin

Zoek de maximale waarde van b in $P(x)=ax^2+bx+c$ , als a,b en c reële getallen zijn en $|P(x)|\leq 1$ voor $-1 \leq x\leq 1$ . Geef ook een veelterm die deze maximale waarde van b bereikt.

Antwoord

We weten dat $b=\dfrac{1}{2}(P(1)-P(-1))$ .
Nu zijn zowel $P(1)$ als $P(-1)$ volgens het gegeven kleiner dan of gelijk aan 1, dus is $b \leq \dfrac{1}{2}(1+1)=1$ .
De maximale waarde voor b is dus 1.
Neem $P(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)^2-1$ . Omdat $0\leq x+1\leq 2$ is $|P(x) | \leq 1$ . Bovendien is na uitwerking $P(x)=\dfrac{1}{2}x^2+x-\dfrac{1}{2}$ , zodat $b=1$ .