Wiskunde is leuk

Sangaku 14

Geplaatst op 2 augustus 2023 door admin

Antwoord

Gegeven de zijde a van de gegeven vijfhoek, bereken de straal van de kleine cirkel .
Een hoek van een regelmatige vijfhoek meet $108^\circ$ .
Dan is $|TA|=\frac{1}{2}a\cos 54^\circ$ .
Nu is $|TF|=\frac{1}{2}a\cos 54^\circ -\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}a(\cos 54^\circ-1)$

Sangaku 13

Geplaatst op 29 juni 2023 door admin

Antwoord

We zoeken de vergelijking van de groene cirkel , met middelpunt de oorsprong en straal r: $x^2+y^2=r^2$ .
$f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ is de vergelijking van de bovenste halve cirkel
De cirkel raakt aan de rode kromme g(x) in P(x,y) als en slechts als $f(x)=g(x)$ en $f'(x)=g'(x)$ .
De eerste betrekking betekent dat $x+\sqrt{1}{x}=\sqrt{r^2+x^2}$
De tweede betrekking geeft: $1-\frac{1}{x^2}=-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}$
Hieruit volgt dat $1-\frac{1}{x^2}=-\frac{x^2}{x^2+1}$ .
Uitrekenen geeft $x=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$ . En bijgevolg is $y=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}+\sqrt[4]{2}$ .
Nu is $r^2=x^2+y^2$ , dus is $r^2=2+2\sqrt{2}$ .
De vergelijking van de groene cirkel is:
$x^2+y^2=2+2\sqrt{2}$

Sangaku 12

Geplaatst op 18 januari 2023 door admin

Antwoord

We veronderstellen dat hier een regelmatige zevenhoek getekend staat. Dus er gaat een cirkel door de zeven punten
We zoeken naar een verband tussen a, b en c
Beschouw de koordenvierhoek ACDE
Daarin zijn $|AD|=|AE|=c$ , $|AC|=|CE|=b$ en $|CD|=|CE|=a$ .
Gebruiken we de stelling van Ptolemaeus in deze vierhoek: het product van de diagonalen is de som van de producten van de overstaande zijden:
$bc=ab+ac$
Delen door $abc$ geeft uiteindelijk :
$\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Sangaku 7

Geplaatst op 28 januari 2022 door admin

Antwoord

De opdracht is de oppervlakte van de groene driehoek te zoeken.
Verdeel het onderste zijde van het vierkant in 2 stukken, van links naar rechts: x en 8 – x
Door 2 maal gebruik te maken van de eigenschap dat de raaklijn stukken getrokken vanuit een punt buiten de cirkel aan die cirkel even lang zijn, weten we dat de schuine zijde van de groene driehoek gelijk is aan x + 8.
De groene driehoek is rechthoekig en dus kunnen we Pythagoras toepassen :
$(x+8)^2=8^2+(x-8)^2$
Hieruit volgt dat x = 2.
De oppervlakte van de groene driehoek is dan 24 oppervlakte eenheden.

Sangaku 6

Geplaatst op 27 februari 2021 door admin

Antwoord

We zien een regelmatige zeshoek. Veronderstel dat de lengte van een zijde gelijk is aan 1. Zoek de afstand van A tot H.
We berekenen eerst $|AF|$ door gebruik te maken van de cosinusregel in driehoek AGF ( gelijkbenige driehoek met opstaande zijden gelijk aan 1 en een tophoek van $120^\circ$ . We vinden : $|AF|=\sqrt{3}$ .
We berekenen nu $|FH|$ in driehoek FEH. weer de cosinusregel : $1^2=x^2+x^2-2x^2\cos 120^÷circ$ . Hieruit volgt: $|AF|=\frac{1}{\sqrt{3}}$ .
Tenslotte berekenen we $|AH|$ in driehoek AHF. Cosinusregel met zijden $\sqrt{3}$ en $\frac{1}{\sqrt{3}}$ en ingesloten hoek $60^\circ$ . Dit geeft: $|AH|=\sqrt{\frac{7}{3}}$ .